Question

求函数f（x）=1?x1+x在x=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式

求函数f（x）=1?x1+x在x=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式．

Answer 1

函数f（x）在x=0点处代拉格朗日型余项n阶泰勒展开式为：
f(x)＝f(0)+f′(0)x+

1

2!

f″(0)x2+…+

1

n!

f(n)(0)xn+

1

(n+1)!

f(n+1)(θx)xn+1．
f(x)＝

1?x

1+x

＝?1+

2

1+x

，
因为(

1

1+x

)(n)＝(?1)n

n!

(1+x)n+1

，
所以，f(x)＝?1+2×

1

1+x

=-1+2×[1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ+(?1)n+1

1

(1+θx)n+2

xn+1]=1?2x+2x2?2x3+…+(?1)n2xn+(?1)n+1

2xn+1

(1+θx)n+2

，0＜θ＜1．