Question

（2014?徐汇区二模）如图，直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）过点B、C，且

（2014?徐汇区二模）如图，直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）过点B、C，且与x轴另一个交点为A，以OC、OA为边作矩形OADC，CD交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；（2）已知直线x=m交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线（CD上方部分）于点P，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，联结PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．

Answer 1

（1）∵直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴C坐标为（0，4），
设y=0，则x=-1，
∴B坐标为（-1，0），
∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）过点B、C，
∴

0＝a+2a+c 4＝c

，
解得：

a＝? 4 3 c＝4

，
∴抛物线的解析式为y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
设y=0，0=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
解得：x=-1或3，
∴A的坐标为：（3，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴

3k+b＝0 b＝4

，解得

k＝? 4 3 b＝4

，
∴直线AC的解析式为y=-

4

3

x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，-

4

3

m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-

4

3

x²+

8

3

x+4上，
∴点P的坐标为（m，-

4

3

m²+

8

3

m+4），
∴PM=PE-ME=（-

4

3

m²+

8

3

m+4）-（-

4

3

m+4）=-

4

3

m²+4m，
即PM=-

4

3

m²+4m（0＜m＜2）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3-m，EM=-

4

3

m+4，CF=m，PF=-

4

3

m²+

8

3

m+4-4=-

4

3

m²+

8

3

m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（-

4

3

m²+

8

3

m）：（3-m）=m：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=

23

16

．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-

4

3

m²+

8

3

m）：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为

23

16

或1．