Question

求经过两圆C1:x^2+y^2-x+y-2=0与C2:x^2+y^2=5的交点,且圆心C在直线3x+4y-1=0上的圆的方程

Answer 1

由于圆的对称性

过那两交点的圆的圆心连线都垂直于以这两交点为端点的线段
意即CC1垂直于该线段、C1C2也垂直于该线段
而两线段同过点C1，故C、C1、C2共线
而
x^2+y^2-x+y-2
=(x-1/2)^2 +(y+1/2)^2-3/2
故
C1(1/2,-1/2)
C2(0,0)
C1C2:y=-x
代入3x-4y-1=0，得
x=1/7
y=-1/7
意即直线C1C2与直线3x+4y-1=0的交点为(1/7,-1/7)
此即所求圆圆心
然后求半径r
不妨记圆C1、C2某交点坐标为(x0,y0)
则必有
x0^2+y0^2-x0+y0=2 ①
x0^2+y0^2=5 ②
而
r^2=(x0-1/7)^2+(y0+1/7)^2
=x0^2-2x0/7+1/49+y0^2+2y0/7+1/49
=x0^2-2x0/7+y0^2+2y0/7+2/49 ③
待定系数法
令a*①+b*②=③
则有
a+b=1 (x0^2+y0^2)
-a=-2/7 (x0)
a=2/7 (y0)
解得
a=2/7
b=5/7
故
r^2=2/7 * 2 + 5/7 * 5 +2/49
=205/49
所以所求圆方程为
(x-1/7)^2+(y+1/7)^2=205/49

要不要化成一般式随你啦