Question

如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发

如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周。 （1）点C坐标是_______，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是______；（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）

Answer 1

解：（1）C（3，4）、D（9，4）；
（2）当D在OA上运动时， （0＜t＜6）； 当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F， 过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图， 设D点运动的时间为t秒， 所以DA=2t-12，BD=22-2t， 又因为C为OB的中点， 所以BF为△BOE的中位线 所以 又因为 所以 所以 因为BN⊥OA，DM⊥OA， 所以△ADM∽△ABN 所以 所以 又因为 所以 即 （6≤t＜11） 所以当t=6时，△OCD面积最大，为 当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）。
（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则 即 所以t=3.5 设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则 即 所以 所以 ， （舍去） 所以当t为3.5秒或 秒时两三角形相似。