已知：如图，二次函数y=ax 2 ﹣2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为
已知：如图，二次函数y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该二次函数的关系式；（2）写出该二...
已知：如图，二次函数y=ax 2 ﹣2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该二次函数的关系式；（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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| 解：（1）∵点C（0，4）， ∴c=4， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴0=16a﹣8a+4， ∴a=﹣  ，∴y=﹣  x 2 +x+4；（2）y=﹣  x 2 +x+4=﹣ （x 2 ﹣2x）+4，=﹣  [（x 2 ﹣2x+1）﹣1]+4，=﹣  （x﹣1）2+5，∴该二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，5）； （3）∵二次函数的对称轴为：直线x=1，点A的坐标为（4，0）， ∴B（﹣2，0，），AB=6， S △ABC =  ×6×4=12，设BQ=x， ∵EQ∥AC， ∴△BEQ∽△BCA， ∴（  ） 2 = =（ ） 2 ，∴S △BEQ =  ×12= x 2 ，∴S △CQE =  x×4﹣ x2=﹣ x 2 +2x，当x=﹣ = =3时，S △CQE 面积最大，∴Q点坐标为（1，0）； （4）存在， 在△ODF中， ①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0）， ∴AD=OD=DF=2， 又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4， ∴∠OAC=45°， ∴∠DFA=∠OAC=45°， ∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2）， 由﹣  x 2 +x+4=2，解得：x 1 =1+  ，x 2 =1﹣ ，此时，点P的坐标为：P（1+  ，2）或P（1﹣ ，2）；②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M， 由等腰三角形的性质得出：OM=  OD=1，∴AM=3， ∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3， ∴F（1，3）， 由﹣  x 2 +x+4=3，解得：x 1 =1+  ，x 2 =1﹣ ，此时，点P的坐标为：P（1+  ，3）或P（1﹣ ，3）；③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°， ∴AC=4  ，∴点O到AC的距离为2  ，而OF=OD=2＜2 ，∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形． 综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P（1+  ，2）或P（1﹣ ，2）或P（1+ ，3）或P（1﹣
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