Question

如图，已知二次函数y=ax 2 -4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）。 （1）求

如图，已知二次函数y=ax 2 -4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）。 （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标。

Answer 1

解：（1）根据题意得 解得 ∴二次函数的表达式为 。
（2）令y=0，得二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0） 由于P是对称轴 上一点， 连结AB，由于 ， 要使△ABP的周长最小，只要 最小 由于点A与点C关于对称轴 对称，连结BC交对称轴于点P， 则 =BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得 的最小值为BC 因而BC与对称轴 的交点P就是所求的点 设直线BC的解析式为 ， 根据题意，可得 解得 所以直线BC的解析式为 因此直线BC与对称轴 的交点坐标是方程组 的解， 解得 所求的点P的坐标为（2，-3）。