Question

已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5），在函数图象的对称轴上存在一点P，使三

已知二次函数y=ax^2-4x+c的图象与坐标轴交点A（-1,0)和点B（0,-5），在函数图象的对称轴上存在一点P，使三角形ABP的周长最小，求点P的坐标

Answer 1

因函数图像过A，B两点，所以将A，B两点坐标代入方程得如下方程组：

0=a+4+c

-5=0-0+c

解得a=1,c=-5

则函数解析式为：y=x^2-4x-5

对称轴x=2

A点关于x=2的对称点为A[5,0]

连接B,A'，与x=2相交于点P，

直线BA'所在直线方程可设为y=kx+b,将B、A'的坐标分别代入得

-5=b

0=5k+b

k=1

则直线BA'的解析式为：y=x-5

当x=2时，y=-3

所以P点坐标为（2，-3）

Answer 2

将点A（-1,0),点B（0,-5）分别代入二次函数解析式，解得a=1,c=-5
故y=x²-4x-5,对称轴为x=2
要使三角形ABP的周长最小，即AP+PB最小，设点B'为点B关于对称轴对称的函数图像上的点，则为B'（4,-5),AP+PB≥AB'.即AP+PB最小值为AB',AB'的斜率k=-5/5=-1
∴AB'的直线方程为y=-(x+1)=-x-1
当x=2时,y=-3
故点P(2,-3)