Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）， f(x)-f(y)=f( x-y 1-xy ) 恒成立

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）， f(x)-f(y)=f( x-y 1-xy ) 恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（-1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若 a n+1 = 2 a n 1+ a 2n (n∈ N * ) ，且a n ∈（-1，0）∪（0，1），则数列{f（a n ）}为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是______．

Answer 1

①由对任意x，y∈（-1，1）， f(x)-f(y)=f( x-y 1-xy ) 恒成立． 取x=y=0，则 f(0)-f(0)=f( 0-0 1-0 )=f(0) ，所以f（0）=0，所以①正确； ②取x=0，y=x，则 f(0)-f(x)=f( 0-x 1-0?x )=f(-x) ，即f（-x）=-f（x）， 所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确； ③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以 x-y 1-xy ＜0 ， 又 x-y 1-xy +1= x-y+1-xy 1-xy = (1-y)(1+x) 1-xy ＞0 ， 所以 -1＜ x-y 1-xy ＜0 ， 若 f( x-y 1-xy )＞0 ，则 f(x)-f(y)=f( x-y 1-xy ) ＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数， 所以③不正确； ④由 f( a n )+f( a n )=f( a n )-f(- a n )=f( 2 a n 1+ a n 2 ) =f（a n+1 ），所以f（a n+1 ）=2f（a n ）， 又a n ∈（-1，0）∪（0，1），所以f（a n ）≠0，所以数列{f（a n ）}为等比数列． 所以④正确． 故答案为①②④．