Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足 1、对任意x,y属于（-1，1）都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) 2、当x属于（

2、当x属于（-1，0）时 有f（x）>0第一小题判断fx在（-1，1）的奇偶性，（2）判断fx在（-1，1）单调性 （3）求证f（1/n²+3n+1）=f（1/n+1）-f（1/n+2）（N属于N正]

Answer 1

1）令x=y=0，由f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))得到 f(0)=0
再令y=-x，则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0 即f(-x)=-f(x)
所以函数f(x)是奇函数
2）设-1<x1<x2<1
则有f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2))
因为-1<x1<x2<1，所以(x1-1)(x2+1)<0,即-1<(x1-x2)/(1-x1x2)<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即f(x)在(-1,1)上是减函数
3）要证f（1/n²+3n+1）=f（1/n+1）-f（1/n+2）
则f（1/n²+3n+1）+f（1/n+2）=f（1/n+1）
由于f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
所以可以看做x=1/n²+3n+1，y=1/n+2
只要证明(x+y)/(1+xy)= 1/n+1就行了
事实上经过计算是相等的。
所以成立了。