Question

设 x ， y ∈R，i，j为直角坐标平面内 x ， y 轴正方向上的单位向量，若向量 ， b ＝ xi ＋( y －2) j

设 x ， y ∈R，i，j为直角坐标平面内 x ， y 轴正方向上的单位向量，若向量 ， b ＝ xi ＋( y －2) j ，且| a |＋| b |＝8．（1）求点 M （ x ， y ）的轨迹 C 的方程；（2）过点（0，3）作直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，设 是否存在这样的直线 l ，使得四边形 OAPB 为矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，试说明理由．

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Answer 1

见解析

解：（1）∵ a ＝ xi ＋ ( y ＋ 2) j ， b ＝ xi ＋ ( y － 2) j ，且| a |＋| b |＝8 ∴点 M （ x ， y ）到两个定点 F 1 （0，－2）， F 2 （0，2）的距离之和为8 ∴点 M 的轨迹 C 为 F 1 、 F 2 为焦点的椭圆，其方程为 （2）∵ l 过 y 轴上的点（0，3），若直线 l 是 y 轴，则 A 、 B 两点是椭圆的顶点，这时 。 ∴ P 与 O 重合，与四边形 OAPB 是矩形矛盾， ∴直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y ＝ kx ＋3， A （ x 1 ， y 1 ）， B ( x 2 ， y 2 ) 由 恒成立． 且 ∵ ，∴四边形 OAPB 是平行四边形 若存在直线 l 使得四边形 OAPB 是矩形，则 OA ⊥ OB ，即 ∵ 即 ∴存在直线 使得四边形 OAPB 为矩形．