Question

设总体X的概率分布为 X 1 2 3 P 1-θ θ-θ2 θ2其中θ∈（0，1）未知，以Ni来表示来自

设总体X的概率分布为 X 1 2 3 P 1-θ θ-θ2 θ2其中θ∈（0，1）未知，以Ni来表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1，2，3）试求常数a1，a2，a3，使T＝3i＝1aiNi为θ的无偏估计量，并求T的方差．

Answer 1

由已知得：
N₁～B（n，1-θ），N₂～B（n，θ-θ²），N₃～B（n，θ²），
因为：
E（T）=E(

3

i＝1

aiNi)=a₁E（N₁）+a₂E（N₂）+a₃E（N₃）=a₁n（1-θ）+a₂n（θ-θ²）+a₃nθ² 
=na₁+n（a₂-a₁）θ+n(a3?a2)θ2，
由：E（T）=θ，
得：a1＝0，a2＝

1

n

，a3＝

1

n

，
于是：T＝

1

n

N2+

1

n

N3＝

1

n

(n?N1)，
所以T的方差为：
D(T)＝D(

n?N1

n

)＝

D(N1)

n2

＝

nθ(1?θ)

n2

＝

θ(1?θ)

n

．