Question

8x9x10x11x12x13x14可以等于另外几个连续自然数的乘积

Answer 1

为了找寻所有的可能，按个数来排列。
8×9×10×11×12×13×14=17297280

①【第一种答案：8×9×10×11×12×13×14可以写成连续一个自然数的乘积：17297280】
②假若连续两个自然数乘积，由个位是0可知，
这两个连续自然数数个位分别为4、5或5、6或9、0或0、1
而4159×4160>17297280、4155×4156<17297280
于是不存在。
③假若连续三个自然数乘积，由个位是0可知，
这三个连续自然数数个位分别为3、4、5或4、5、6或5、6、7或8、9、0或9、0、1或0、1、2
而258×259×260>17297280、255×256×257<17297280
于是不存在。
④假若连续四个自然数乘积，由个位是0可知，
这四个连续自然数数个位一定存在5的倍数。
而63×64×65×66满足条件。
【第一种答案：8×9×10×11×12×13×14可以写成连续四个自然数的乘积：63×64×65×66】
⑤假若连续五个自然数乘积
而28×28×28×28×28<17297280<29×29×29×29×29
而17297280中存在11与13作为素因子，那么在28、29旁边，只有26含有13
（13与39足够远，使得13×14×15×16×17<17297280<35×36×37×38×39）
而26与11的倍数只有22足够接近——22与26恰好构成连续5个数字的首尾。

而22、23、24、25、26中含有两个5作为素因子，8×9×10×11×12×13×14只有一个5，
矛盾。
于是不存在。
⑥假若连续六个自然数乘积
而16×16×16×16×16×16<17297280<17×17×17×17×17×17
类似上一种情况，16旁边含有13作为素因子的只有13
而11的倍数中，22离13超过6个数，因而必存在11，
而要使得乘积为17297280，那么至少要有数大于16（否则16×16×16×16×16×16<17297280）
而含有11的话，至多11×12×13×14×15×16，矛盾。
于是不存在。
⑦假若连续七个自然数乘积，这个就是题设，不需考虑。
⑧假若连续八个自然数乘积，
8×8×8×8×8×8×8×8<17297280<9×9×9×9×9×9×9×9
类似上一种情况，8旁边含有11、13作为素因子的只有11和13
注意到，题设中，只存在一个7作为质因数，因而假若取14，那么不能取7

于是至少为8×9×10×11×12×13×14×15>17297280
假若取7，那么不能取14，于是只能有
6×7×8×9×10×11×12×13=42×（8×9×10×11×12×13）≠（8×9×10×11×12×13）×14
⑨假若连续九个或九个以上自然数乘积，
注意到，连续九个自然数中至少存在4个3作为质因数，
而题设中只有3个3作为质因数，不可能。

答案：
【第一种答案：8×9×10×11×12×13×14可以写成连续一个自然数的乘积：17297280】
【第一种答案：8×9×10×11×12×13×14可以写成连续四个自然数的乘积：63×64×65×66】

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Answer 2

8x9x10x11x12x13x14