Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：①求k的取值范围；②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1）， 即a（-x+1） 2 +b（-x+1）=a（x+1） 2 +b（x+1）恒成立， 即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax 2 -2ax ∵函数f（x）的图象与直线y=x相切， ∴二次方程ax 2 -（2a+1）x=0有两相等实数根， ∴△=（2a+1） 2 -4a×0=0 ∴ a=- 1 2 ，f(x)=- 1 2 x 2 +x （4分） （2）① g(x)=- 1 2 x 3 + x 2 -kx ， g′(x)=- 3 2 x 2 +2x-k ∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数 ∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立． ∴ △=4-4(- 3 2 )(-k)≤0 ，得 k≥ 2 3 故k的取值范围为 [ 2 3 ，+∞) （7分） ②∵ f(x)=- 1 2 (x-1 ) 2 + 1 2 ≤ 1 2 ， ∴ [km，kn]?(-∞， 1 2 ] ， ∴ kn≤ 1 2 ， 又k≥ 2 3 ， ∴ n≤ 1 2k ≤ 3 4 ， ∴[m，n]?（-∞，1]， ∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分） ∴ f(m)=km f(n)=kn 即 - 1 2 m 2 +m=km - 1 2 n 2 +n=kn 即 m=0，或m=2-2k n=0，或n=2-2k （11分） ∵m＜n故当 2 3 ≤k＜1 时，[m，n]=[0，2-2k]； 当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；当k=1时，[m，n]不存在． （13分）