Question

已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1+a4=14，（1）求数列{an}的通项公式；

已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1+a4=14，（1）求数列{an}的通项公式；（2）通过bn＝Snn+c构造一个新的数列{bn}，求非零常数c，使{bn}也为等差数列；（3）对于（2）中符合条件的数列{bn}，求f(n)＝bn(n+2010)?bn+1(n∈N*)的最大值．

Answer 1

：（1）{a_n}为等差数列，所以，a₁+a₄=a₂+a₃=14
又a₂a₃=45所以a₂，a₃是方程x²-14x+45=0的两实根，公差d＞0，
∴a₂＜a₃∴a₂=5，a₃=9
∴a₁+d=5，a₁+2d=9
∴a₁=1，d=4
∴a_n=4n-3
（2）由（1）知s_n=n（2n-1）
∴bn＝

Sn

n+c

=

n(2n?1)

n+c

∴b₁=11+c，b₂=62+c，b₃=153+c
又∵{b_n}也是等差数列
∴b₁+b₃=2b₂
即  2?（62+c）=11+c+153+c，解得 c=-

1

2

或c=0（舍去）
∴bn=2n是等差数列，故 c=-

1

2

（3）∵f(n)＝

bn

(n+2010)?bn+1

(n∈N*)=

n

(n+2010)(n+1)

=

1

n+ 2010 n +2011

且44+

2010

44

＞55+

2010

55

∴f（n）≤

9

18906

故f（n）有最大值且最大值为

9

18906