（2009?湖北）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa
（2009?湖北）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈...
（2009?湖北）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ?tanφ=1，求λ的值．
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（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=
＝
在Rt△ADE中，∵AD＝
a，DE=λa∴AE=a
从而DF=
＝
在Rt△CDF中，tanθ=
＝
．
由tanθ?tanφ=1，得
＝1即
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=
| DE |
| BD |
| λ |
| 2 |
在Rt△ADE中，∵AD＝
| 2 |
| λ2+2 |
从而DF=
| AD?DE |
| AE |
| ||
|
在Rt△CDF中，tanθ=
| CD |
| DF |
| ||
| λ |
由tanθ?tanφ=1，得
| ||
| λ |
| λ |
| 2 |
