Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=1，点E是SD上的点，且DE=λ(0＜λ≤1)

1）求证：对任意的λ∈（0,1]都有AC⊥BE;2）若二面角C-AE-B的大小为30°，求λ，的值。

Answer 1

1.连BD
∵SD⊥面ABCD
∴SD⊥AC
又AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)
SD∩BD=面SDB
∴AC⊥面SDB
∵BE∈面SDB
∴AC⊥BE
2.作EF∥DC，交SC于F，连BF
作DG⊥AE于G，作GH∥EF，交BF于H，连CG、CH
∵DC∥AB
∴EF∥AB
∴F∈面ABE
∵SD⊥面ABCD
∴SD⊥DC
又DC⊥AD
∴DC⊥面SAD
∴GH⊥面SAD
∴GH⊥AE
又DG⊥AE
∴AE⊥面CDGH
∴AE⊥CG
∴∠CGH就是二面角C-AE-B的平面角
∴∠CGD=60°
DG=√3/3
AG=√6/3
DE:AD=GD:AG
∴λ=DE=√2/2

Answer 2

⑴ ∵SD⊥平面ABCD,∴AC⊥SD 又AC⊥BD ∴AC⊥平面BDS 而BE∈BDS ∴AC⊥BE..

⑵ 取坐标系 D﹙0,0,0﹚ A﹙1,0,0﹚ C﹙0,1,0﹚ S﹙0,0,1﹚ 则E﹙0,0，λ﹚
ABE法向量n1＝﹛λ,0,1﹜,
AC＝﹛-1,1,0﹜ AE＝﹛-1,0,λ﹜ ACE法向量n2＝AC×AE＝﹛λ,λ,1﹜
∴cos30º＝√3/2＝[n1•n2]/[n1||n2|]＝﹙λ²+1﹚/[√﹙λ²+1﹚×√﹙2λ²+1﹚] 解得λ＝1/√2

Answer 3

建立坐标系SD为Z轴 DA为X轴 DC为Y轴
1、D(0,0,0) A(1,0,0) S(0,0,1) B(1,1,0) C(0,1,0) E(0,0,λ)
AC=(-1,1,0) BE=(1,1,-λ)
AC.BE=(-1,1,0).(1,1,-λ) =0
所以AC⊥BE
2、设平面ACE的法向量为N=（x,y,z)=
则N.AC=0 N.AE=0
AE=(-1,0,λ) AC=(-1,1,0) N.AE=（x,y,z). (-1,0,λ)=0 N.AC=(-1,1,0).（x,y,z)=0
N=(λ,λ,1)
设平面BAE法向量为M=（a,b,c)
则M.AB=0 M.AE=0
AB=(0,1,0) AE=(-1,0,λ) M.AB=(a,b,c).(0,1,0)=0 M.AE=（a,b,c).(-1,0,λ) =0
M=(λ,0,1)
由于二面角C-AE-B的大小为30
con<M.N>=M.N/abs(M)*abs(N)
con30=(λ,0,1).(λ,λ,1) /abs(λ,λ,1) *abs(λ,0,1)
sqr(3)/2=(λ^2+1)/sqr(2λ^2+1)(λ^2+1)
λ=sqr(6)/6
说明 sqr(6)是表示根号6 abs表示绝对值