Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AC=BF；（2）当∠D

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AC=BF；（2）当∠D与∠AFD满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥CF，
∴∠BAE=∠CFE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵在△ABE和△FCE中

∠BAE＝∠CFE ∠AEB＝∠CEF BE＝CE

，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AC=BF；

（2）解：当∠D=∠AFD时，四边形ABFC是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵由（1）知：四边形ABFC是平行四边形，
∴AB=CF，
∴CD=CF，
∵∠D=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AC⊥FD，
∴∠ACF=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴平行四边形ABFC是矩形，
即当∠D=∠AFD时，四边形ABFC是矩形．