Question

设P为双曲线x2-y212=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于π2

设P为双曲线x2-y212=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于π2π2．

Answer 1

∵双曲线方程为x²-

y2

12

=1，
∴c²=a²+b²=13，可得双曲线的左焦点F₁（-

13

，0），右焦点F₂（

13

，0）
根据双曲线的定义，得||PF₁|-|PF₂||=2a=2
∴由余弦定理，得|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|?|PF₂|
即：52=4+（2-2cos∠F₁PF₂）|PF₁|?|PF₂|，可得|PF₁|?|PF₂|=

48

2?2cos∠F1PF2

又∵△PF₁F₂的面积为12，
∴

1

2

|PF₁|?|PF₂|sin∠F₁PF₂=12，即

24sin∠F1PF2

2?2cos∠F1PF2

=12
结合sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，
解之得sin∠F₁PF₂=1且cos∠F₁PF₂=0，
∴∠F₁PF₂等于

π

2

故答案为：

π

2