Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 ﹣y 2 =1的右支交于不同的两点A、B． （I）求实数k的取值范围； （II）是

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 ﹣y 2 =1的右支交于不同的两点A、B． （I）求实数k的取值范围； （II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x 2 ﹣y 2 =1后， 整理得（k 2 ﹣2）x 2 +2kx+2=0．① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点， 故 解得k的取值范围是﹣2＜k＜ ． （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ）、（x 2 ，y 2 ）， 则由①式得 ② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）． 则由FA⊥FB得：（x 1 ﹣c）（x 2 ﹣c）+y 1 y 2 =0．即（x 1 ﹣c）（x 2 ﹣c）+（kx 1 +1）（kx 2 +1）=0． 整理得（k 2 +1）x 1 x 2 +（k﹣c）（x 1 +x 2 ）+c 2 +1=0．③ 把②式及 代入③式化简得 ． 解得 可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．