Question

如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证

如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若AD=14AB，CF=13CB，△ABC、△CEF、△ADE的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADE，且S△ABC=24，则S△CEF-S△ADE=______；（3）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图（1），
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF．

（2）解：∵S_△ACB=24，AD=

1

4

AB，CF=

1

3

CB，
∴S_△ACD=S_△ADE+S_△ACE=

1

4

×24=6①，
S_△ACF=S_△CEF+S_△ACE=

1

3

×24=8②，
∴②-①得：S_△CEF-S_△ADE=8-6=2，
故答案为：2．

（3）BE′=CF，
证明：如图（2），过F作FH⊥AB于H，
∵CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴∠ECE′=∠HFB，
∵△ADE沿AB平移到△A′D′E′，
∴DE=D′E′，EE′=DD′，
∴四边形EDD′E′是平行四边形，
∴EE′∥AB，
∵∠CDB=90°，
∴∠CEE′=∠CDB=90°=∠FHB，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=90°，FH⊥AB，
∴CF=FH，
∵CF=CE，
∴CE=FH，
在△CEE′和△FHB中

∠CEE′＝FHB CE＝FH ∠ECE′＝∠HFB

∴△CEE′≌△FHB（ASA），
∴CE′=BF，
∴CE′-FE′=BF-E′F，
即BE′=CF．