Question

如图 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交BC于点F.

（1）求证CE=CF （2）将△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其他条件不变，问BE'与CF又怎样的数量关系？请证明你的结论。

Answer 1

1、在Rt△AFC中，
∠CFA=90°-∠CAF（直角三角形两锐角互余）
同理在Rt△AED中，
∠AED=90°-∠EAD=90°-∠FAB．
又∵AF平分∠CAB（已知）
∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）
∴∠AED=∠CFE（等量代换）
又∵∠CEF=∠AED（对顶角相等）
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF(等腰三角形）
2、

Answer 2

（1）证明：∵af平分∠cab，
∴∠caf=∠ead，
∵∠acb=90°，
∴∠caf+∠cfa=90°，
∵cd⊥ab于d，
∴∠ead+aed=90°，
∴∠cfa=∠aed，
∵∠aed=∠cef，
∴∠cfa=∠cef，
∴ce=cf；
（2）be′=cf．
证明：如图，过点e作eg⊥ac于g，
又∵af平分∠cab，ed⊥ab，
∴ed=eg．
由平移的性质可知：d′e′=de，
∴d′e′=ge，
∵∠acb=90°，
∴∠acd+∠dcb=90°
∵cd⊥ab于d，
∴∠b+∠dcb=90°，
∴∠acd=∠b，
在rt△ceg与rt△be′d′中，
，
∴△ceg≌△be′d′，
∴ce=be′，
由（1）可知ce=cf，
∴be′=cf．