Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；（2）当a=2时，求使

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；（2）当a=2时，求使g2（x）f（x）=4x成立的x的集合；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，+∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由函数f（x）=

x?a   (x≥a) ?x+a (x＜a)

可知，函数f（x）的图象关于直线x=a对称．
当a=0时，函数f（x）=|x|，显然是一个偶函数；
当a≠0时，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠

f(x) ?f(x)

，
故函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．
（2）若a=2，且g²（x）f（x）=4x
可得：x²|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+

2

，
故所求的集合为{0，1，1+

2

}．
（3）对于 a＞0，F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a+1)x?a (0＜x＜a) (a?1)x+a  (x≥a)

若a＞1时，函数F（x）在区间（0，a），[a，+∞）上递增，无最大值；
若a=1时