Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bnan}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式Tn．

Answer 1

（I）根据题意，可得

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 4×5 2 d＝50 (a1+3d)2＝a1(a1+12d)

，

a1＝3 d＝2

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
（II）

bn

an

＝3n?1，bn＝an?3n?1=（2n+1）?3^n-1
T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n+1）?3^n-1，
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）?3^n-1+（2n+1）?3ⁿ，
两式相减，得-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）?3ⁿ
=3+6?

1?3n?1

1?3

-（2n+1）?3ⁿ=-2n?3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=n?3ⁿ．