Question

课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，

课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立．请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．

Answer 1

数学语言简洁地叙述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等号当且仅当ad=bc时成立；
中文语言简洁地叙述柯西不等式：
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方．取等号的条件是两列数对应成比例．
二维形式的证明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²?c²+b²?d²+a²?d²+b² ?c²
=a²?c²+2abcd+b²?d²+a²?d² -2abcd+b²?c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立．