Question

如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点

如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。

Answer 1

解：（1）在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8， ∴OA=OB·cos30°=8× ， AB=OB·sin30°=8× =4， ∴点B的坐标为（4 ，4）； （2）证明：∵∠OAB=90°， ∴AB⊥x轴， ∵y轴⊥x轴， ∴AB∥y轴，即AB∥CE， ∵∠AOB=30°， ∴∠OBA=60°， ∵D是OB的中点， ∴DA=DB， 即∠DAB=∠DBA=60°， ∴∠ADB=60°， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°， ∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （3）设OG的长为x， ∵OC=OB=8， ∴CG=8-x， 由折叠的性质可得：AG=CG=8-x， 在Rt△AOG中，AG 2 =OG 2 +OA 2 ， 即（8-x） 2 =x 2 +（4 ） 2 ， 解得：x=1，即OG=1。