Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。
（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：连接BD ∵ ∴ 为等边三角形 ∵E是AB中点 ∴燃此磨 ∵ 面ABCD，AB 面ABCD， ∴ ∵ 面PED，PD 面PED，DE∩PD=D ∴ 面PED ∵ 面PAB，扒滚 ∴面 面PAB。
（皮斗2）∵ 平面PED，PE 面PED， ∴ 连接EF， ∵ 面PED， ∴ ∴ 为二面角P-AB-F的平面角 设AD=2，那么PF=FD=1，DE= 在 中， ∴ 即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 。

Answer 2

（1）证明：连接BD
∵ AB=AD,∠DAB=60º
∴ 为等边三角形
∵E是AB中樱誉点
∴ AB⊥DE
∵ PD⊥面ABCD，AB 在面ABCD内，
∴ AB⊥PD
∵ DE在面PED内，PD在 面PED内，档搜DE∩PD=D
∴AB⊥ 面PED
∵AB在 面PAB内，
∴面PED⊥ 面PAB。
（2）∵ AB⊥平面PED，PE在 面PED内，
∴ AB⊥PE
连接EF，
∵EF在 面PED内，
∴ AB⊥EF
∴∠PEF 为二面角P-AB-F的平面角
设AD=2，那么PF=FD=1，DE= √3
在△PEF 中，PE=√7，EF=2，PE=1
∴cos ∠PEF=(2²+√7²-1)/2X2√7
即二面脊蠢段角P-AB-F的平面角的余弦值为 5√7/14。