Question

已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋ )(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，

已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋ )(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0， ]上的单调性．

Answer 1

（1）ω＝1 （2）f(x)在区间[0， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减．

解：(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋ ) ＝2 sinωx·cosωx＋2 cos 2 ωx ＝  (sin2ωx＋cos2ωx)＋ ＝2sin(2ωx＋ )＋ ． ∵f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有 ＝π，故ω＝1． (2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋ )＋ ． 若0≤x≤ ，则 ≤2x＋ ≤ ． 当 ≤2x＋ ≤ ，即0≤x≤ 时，f(x)单调递增； 当 ≤2x＋ ≤ ，即 ≤x≤ 时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减．