Question

如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=34，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（

如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=34，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且∠AEF=∠ABC，AE与BD相交于点G．（1）求证：ABCE＝BGCF；（2）设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C．
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°，
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°，
∠AEF=∠ABE，
∴∠BAE=∠FEC．
∵∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C，
∴△ABG∽△ECF．
∴

AB

CE

＝

BG

CF

．
（2）解：作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，如图2，
则有NC=FN=

1

2

FC=

y

2

．
在Rt△MNC中，cosC=

NC

MC

=

3

4

，则MC=

2y

3

．
∵MN垂直平分FC，
∴MF=MC=

2y

3

．
∴∠MFC=∠C．
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠FME．
∵∠ABE=∠FME，∠BAE=∠FEM，
∴△ABE∽△EMF．
∴

AB

EM

=

BE

MF

．
∴AB?MF=BE?EM．
∵BE=x，BC=10，MC=

2y

3

，
∴EM=10-x-

2y

3

．
又∵AB=8，
∴8×

2y

3

=x（10-x-

2y

3

）．
∴y=

30x?3x2

2x+16

．（0＜x＜10）
（3）解：①EA=EF，如图3，
∵△ABE∽△EMF（已证），
∴

BE

MF

=

AE

EF

．
∵EA=EF，
∴BE=MF．
∵BE=x，MF=

2y

3

，
∴x=

2y

3

．
∴y=

3

2

x．
∴

30x?3x2

2x+16

=

3

2

x．
整理得：x²+4x-5=0．
则有（x+5）（x-1）=0．
解得：x₁=-5（舍），x₂=1．
②AE=AF，
过点F作FH⊥BC，垂足为H，如图4，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠AFE=2∠C．
∵∠AFE=∠FEC+∠C，
∴∠FEC=∠C．
∴FE=FC．
∵FH⊥EC，
∴EH=CH=

1

2

EC．
∵EC=10-x，
∴HC=