Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B．设BD的长为x，CE的

如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，

6

8?x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+

4

3

x，
当x=4时，y=-

1

6

×16+

4

3

×4=

8

3

，
即当D为BC的中点时，CE的长为

8

3

；
（2）由（1）得y关于x的函数关系式为y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8）；
（3）∵∠AED＞∠C，
而∠B=∠ADE=∠C，
∴∠AED＞∠ADE，
∴AE＜AD，
当DA=DE时，
∵△ABD∽△DCE，
∴

AD

DE

=

BD

CE

，即

x

y

=1，
∴x=y，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=x，解得x₁=0，x₂=2，
当EA=ED时，则∠EAD=∠ADE，
而∠ADE=∠C，
∴∠EAD=∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴

DC

AB

=

AC

BC

，即

8?x

6

=

6

8

，
∴x=

7

2

，
综上所述，当△ADE为等腰三角形，x的值为0或2或

7

2

．