如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(
如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),F是AC边上一点,...
如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),F是AC边上一点,且∠AEF=∠ABC,AE与BD相交于点G.(1)求证:ABCE=BGCF;(2)设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,求BE的长.
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(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABD=∠C.
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°,
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°,
∠AEF=∠ABE,
∴∠BAE=∠FEC.
∵∠BAG=∠CEF,∠ABG=∠C,
∴△ABG∽△ECF.
∴
=
.
(2)解:作FC的垂直平分线交BC于点M,交FC于点N,如图2,
则有NC=FN=
FC=
.
在Rt△MNC中,cosC=
=
,则MC=
.
∵MN垂直平分FC,
∴MF=MC=
.
∴∠MFC=∠C.
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=∠FME.
∵∠ABE=∠FME,∠BAE=∠FEM,
∴△ABE∽△EMF.
∴
=
.
∴AB?MF=BE?EM.
∵BE=x,BC=10,MC=
,
∴EM=10-x-
.
又∵AB=8,
∴8×
=x(10-x-
).
∴y=
.(0<x<10)
(3)解:①EA=EF,如图3,
∵△ABE∽△EMF(已证),
∴
=
.
∵EA=EF,
∴BE=MF.
∵BE=x,MF=
,
∴x=
.
∴y=
x.
∴
=
x.
整理得:x2+4x-5=0.
则有(x+5)(x-1)=0.
解得:x1=-5(舍),x2=1.
②AE=AF,
过点F作FH⊥BC,垂足为H,如图4,
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE.
∵∠AEF=∠ABC,∠ABC=2∠C,
∴∠AFE=2∠C.
∵∠AFE=∠FEC+∠C,
∴∠FEC=∠C.
∴FE=FC.
∵FH⊥EC,
∴EH=CH=
EC.
∵EC=10-x,
∴HC=
∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABD=∠C.
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°,
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°,
∠AEF=∠ABE,
∴∠BAE=∠FEC.
∵∠BAG=∠CEF,∠ABG=∠C,
∴△ABG∽△ECF.
∴
AB |
CE |
BG |
CF |
(2)解:作FC的垂直平分线交BC于点M,交FC于点N,如图2,
则有NC=FN=
1 |
2 |
y |
2 |
在Rt△MNC中,cosC=
NC |
MC |
3 |
4 |
2y |
3 |
∵MN垂直平分FC,
∴MF=MC=
2y |
3 |
∴∠MFC=∠C.
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=∠FME.
∵∠ABE=∠FME,∠BAE=∠FEM,
∴△ABE∽△EMF.
∴
AB |
EM |
BE |
MF |
∴AB?MF=BE?EM.
∵BE=x,BC=10,MC=
2y |
3 |
∴EM=10-x-
2y |
3 |
又∵AB=8,
∴8×
2y |
3 |
2y |
3 |
∴y=
30x?3x2 |
2x+16 |
(3)解:①EA=EF,如图3,
∵△ABE∽△EMF(已证),
∴
BE |
MF |
AE |
EF |
∵EA=EF,
∴BE=MF.
∵BE=x,MF=
2y |
3 |
∴x=
2y |
3 |
∴y=
3 |
2 |
∴
30x?3x2 |
2x+16 |
3 |
2 |
整理得:x2+4x-5=0.
则有(x+5)(x-1)=0.
解得:x1=-5(舍),x2=1.
②AE=AF,
过点F作FH⊥BC,垂足为H,如图4,
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE.
∵∠AEF=∠ABC,∠ABC=2∠C,
∴∠AFE=2∠C.
∵∠AFE=∠FEC+∠C,
∴∠FEC=∠C.
∴FE=FC.
∵FH⊥EC,
∴EH=CH=
1 |
2 |
∵EC=10-x,
∴HC=
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