如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(

如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),F是AC边上一点,... 如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,cosC=34,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交AC边于点D,点E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),F是AC边上一点,且∠AEF=∠ABC,AE与BD相交于点G.(1)求证:ABCE=BGCF;(2)设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,求BE的长. 展开
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龙█哥█萌█攗
推荐于2018-03-07 · 超过57用户采纳过TA的回答
知道答主
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(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABD=∠C.
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°,
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°,
∠AEF=∠ABE,
∴∠BAE=∠FEC.
∵∠BAG=∠CEF,∠ABG=∠C,
∴△ABG∽△ECF.
AB
CE
BG
CF

(2)解:作FC的垂直平分线交BC于点M,交FC于点N,如图2,
则有NC=FN=
1
2
FC=
y
2

在Rt△MNC中,cosC=
NC
MC
=
3
4
,则MC=
2y
3

∵MN垂直平分FC,
∴MF=MC=
2y
3

∴∠MFC=∠C.
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=∠FME.
∵∠ABE=∠FME,∠BAE=∠FEM,
∴△ABE∽△EMF.
AB
EM
=
BE
MF

∴AB?MF=BE?EM.
∵BE=x,BC=10,MC=
2y
3

∴EM=10-x-
2y
3

又∵AB=8,
∴8×
2y
3
=x(10-x-
2y
3
).
∴y=
30x?3x2
2x+16
.(0<x<10)
(3)解:①EA=EF,如图3,
∵△ABE∽△EMF(已证),
BE
MF
=
AE
EF

∵EA=EF,
∴BE=MF.
∵BE=x,MF=
2y
3

∴x=
2y
3

∴y=
3
2
x.
30x?3x2
2x+16
=
3
2
x.
整理得:x2+4x-5=0.
则有(x+5)(x-1)=0.
解得:x1=-5(舍),x2=1.
②AE=AF,
过点F作FH⊥BC,垂足为H,如图4,
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE.
∵∠AEF=∠ABC,∠ABC=2∠C,
∴∠AFE=2∠C.
∵∠AFE=∠FEC+∠C,
∴∠FEC=∠C.
∴FE=FC.
∵FH⊥EC,
∴EH=CH=
1
2
EC.
∵EC=10-x,
∴HC=
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