Question

如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ=∠BAC．（1）①如

如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ=∠BAC．（1）①如图1，探索∠PAC与∠PQC的数量关系并证明；②如图1，求证：AP=PQ；（2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB=AC）”，其他条件不变，求证：AP=PQ；（3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC（AB=AC）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．

Answer 1

证明：（1）连接AQ，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACQ，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴∠ACQ=∠APQ，
∴A、P、C、Q四点共圆，
∴∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC，
∴∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-∠BCQ，
∵CD∥AB，
∴∠B=180°-∠BCQ，
∴∠PAQ=∠B，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴由三角形内角和定理得：∠ACB=∠AQP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴AP=PQ．

（2）连接AQ，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，
∵∠APQ=∠BAC=90°，
∵由（1）知：A、P、C、Q四点共圆，
∴∠PQA=∠ACB=45°，
∴∠PAQ=45°=∠PQA，
∴AP=PQ．

（3）连接AQ，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACQ，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴∠ACQ=∠APQ，
∴A、P、C、Q四点共圆，
∴∠AQP=∠ACB，∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC，
∴∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-∠BCQ，
∵CD∥AB，
∴∠B=180°-∠BCQ，
∴∠PAQ=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠AQP，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴AP=PQ．