Question

已知函数f（x）=lnx+a?xx，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

已知函数f（x）=lnx+a?xx，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=12x+1垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为12，求a的值．

Answer 1

f′（x）=

1

x

+

?x?(a?x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x?a

x2

（x＞0）（4分）
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=

1

2

，a=

3

2

，不合（8分）
当1＜a＜2时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴lna=

1

2

，a=

e

，（11分）
当a≥2时，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+

a

2

-1，
∴ln2+

a

2

-1=

1

2

，a=3-2ln2，不合．
综上，a的值为

e

．（13分）