Question

利用等比数列的前n项和公式的推导方法，计算 S n = 3 2 + 5 4 + 7 8 +

利用等比数列的前n项和公式的推导方法，计算 S n = 3 2 + 5 4 + 7 8 + … + 2n+1 2 n =______．

Answer 1

∵ S n = 3 2 + 5 4 + 7 8 + … + 2n+1 2 n ，① ∴ 1 2 S n = 3 4 + 5 8 + 7 16 +…+ 2n-1 2 n + 2n+1 2 n+1 ，② ①-②，得 1 2 S n = 3 2 + 2 4 + 2 8 + 2 16 +…+ 2 2 n - 2n+1 2 n+1 = 1 2 +2（ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +…+ 1 2 n ）- 2n+1 2 n+1 = 1 2 +2 × 1 2 (1- 1 2 n ) 1- 1 2 - 2n+1 2 n+1 = 1 2 +2- 2 2 n - 2n+1 2 n+1 ， ∴S n =5- 4 2 n - 2n+1 2 n =5- 2n+5 2 n ． 故答案为：5- 2n+5 2 n ．