Question

已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x

已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0， 当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）； 当a＞1时，解集为全体实数R； 当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）． （Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x恒成立， 即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分） 又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m＜5， 故m的取值范围是（-∞，5）．