Question

已知数列{a n }的前n项和S n 满足 S n = 1 3 a n -1 ，那么T n =a 2 +a 4 +…+a 2n 为

已知数列{a n }的前n项和S n 满足 S n = 1 3 a n -1 ，那么T n =a 2 +a 4 +…+a 2n 为（　　） A． 1- 1 4 n B．2 1-2n -2 C． (- 1 2 ) n -1 D． 1 2 +(- 1 2 ) 1+n

Answer 1

∵ S n = 1 3 a n -1 …① 当n=1时， S 1 = 1 3 a 1 -1 ，则 a 1 =- 3 2 ； 当n≥2时， S n-1 = 1 3 a n-1 -1 …②， ①-②得： S n -  S n-1 = 1 3 a n - 1 3 a n-1 即 a n  = 1 3 a n -  1 3 a n-1 ∴ a n  =- 1 2 a n-1 ∴数列{a n }是等比数列，首项 a 1 =- 3 2 ，公比 q=- 1 2 ∴数列{a 2n }也是等比数列，首项 a 2 = 3 4 ，公比 q ′ = q 2 = 1 4 ∴T n =a 2 +a 4 +…+a 2n = 3 4 [1- ( 1 4 ) n ]  1- 1 4 = 1- 1 4 n 故选A．