Question

已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；

已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减		增

所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)＝f(m+1)＝(m?1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)＝

(m?2)em， m≥1 ?e， 0＜m＜1 (m?1)em+1， m≤0

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，