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(2014?清新区模拟)如图,在ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别
(2014?清新区模拟)如图,在ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,①求证:ED是⊙O的切线;②求证:...
(2014?清新区模拟)如图,在ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,①求证:ED是⊙O的切线;②求证:DE2=BF?AE;③若DF=35,cosA=23,求⊙O的直径.
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解答:(1)证明:∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,即BD⊥AC,
∵BA=BC,
∴AD=CD,即D点为AC的中点,
∵点O为BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AB,
而DE⊥AB,
∴DE⊥OD,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/6a600c338744ebf82bd246bddaf9d72a6159a794?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∴DE是⊙O的切线;
(2)证明:∵BA=BC,BD⊥AC,
∴BD平分∠ABC,
∴DE=DF,
∵∠ADE+∠BDE=90°,∠BDE+∠BDO=90°,
∴∠ADE=∠BDO,
而OB=OD,
∴∠BDO=∠OBD,
∴∠ADE=∠OBD,
∴Rt△AED∽Rt△DFB,
∴DE:BF=AE:DF,
∴DE:BF=AE:DE,
∴DE2=BF?AE;
(3)解:∵∠A=∠C,
∴cosA=cosC=
,
在Rt△CDF中,cosC=
=
,
设CF=2x,则DC=3x,
∴DF=
=
x,
而DF=3
,
∴
x=3
,解得x=3,
∴DC=9,
在Rt△CBD中,cosC=
=
,
∴BC=
×9=
,
即⊙O的直径为
.
∴∠BDC=90°,即BD⊥AC,
∵BA=BC,
∴AD=CD,即D点为AC的中点,
∵点O为BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AB,
而DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)证明:∵BA=BC,BD⊥AC,
∴BD平分∠ABC,
∴DE=DF,
∵∠ADE+∠BDE=90°,∠BDE+∠BDO=90°,
∴∠ADE=∠BDO,
而OB=OD,
∴∠BDO=∠OBD,
∴∠ADE=∠OBD,
∴Rt△AED∽Rt△DFB,
∴DE:BF=AE:DF,
∴DE:BF=AE:DE,
∴DE2=BF?AE;
(3)解:∵∠A=∠C,
∴cosA=cosC=
2 |
3 |
在Rt△CDF中,cosC=
CF |
DC |
2 |
3 |
设CF=2x,则DC=3x,
∴DF=
DC2-CF2 |
5 |
而DF=3
5 |
∴
5 |
5 |
∴DC=9,
在Rt△CBD中,cosC=
DC |
BC |
2 |
3 |
∴BC=
3 |
2 |
27 |
2 |
即⊙O的直径为
27 |
2 |
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