Question

（2014?清新区模拟）如图，在ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别

（2014?清新区模拟）如图，在ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；②求证：DE2=BF?AE；③若DF=35，cosA=23，求⊙O的直径．

Answer 1

解答：（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠BDO=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
而OB=OD，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADE=∠OBD，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF=AE：DF，
∴DE：BF=AE：DE，
∴DE²=BF?AE；
（3）解：∵∠A=∠C，
∴cosA=cosC=

2

3

，
在Rt△CDF中，cosC=

CF

DC

=

2

3

，
设CF=2x，则DC=3x，
∴DF=

DC2-CF2

=

5

x，
而DF=3

5

，
∴

5

x=3

5

，解得x=3，
∴DC=9，
在Rt△CBD中，cosC=

DC

BC

=

2

3

，
∴BC=

3

2

×9=

27

2

，
即⊙O的直径为

27

2

．