Question

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，（1）若∠C＝π4，

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，（1）若∠C＝π4，求∠A的大小．（2）若三角形为非等腰三角形，求cb的取值范围．

Answer 1

（1）∵acsinC=（a²+c²-b²）sinB
∴

sinC

sinB

＝

a2+c2?b2

ac

＝2×

a2+c2?b2

2ac

＝2cosB…（2分）
由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）
因此，C=2B或C+2B=π…（4分）
（i）若C=2B，结合∠C＝

π

4

，可得∠B＝

π

8

，所以∠A＝

5π

8

（舍去）…（5分）
（ii）若C+2B=π，结合∠C＝

π

4

，则∠B＝

1

2

(π?

π

4

)＝

3π

8

，可得∠A＝

3π

8

…（6分）
（2）∵三角形为非等腰三角形，
∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B
由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分）
又∵三角形为锐角三角形，
∴0＜2B＜

π

2

，0＜π?3B＜

π

2

，A≠C，
因此，可得 

π

6

＜∠B＜

π

4

且∠B≠

π

5

…（10分）
而 

c

b

＝

sinC

sinB

＝2cosB…（12分）
∵cosB∈（

2

2

，2cos

π

5

）∪（2cos

π

5

，

3

2

），
∴可得

c

b

＝2cosB=

c

b

∈(

2

，2cos

π

5

）∪（2cos

π

5

，

3

)…（14分）