Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积13？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+k，
∵抛物线经过B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a=

1

4

，k=-

1

4

，
∴y=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²-

3

2

x+2；

（2）设对称轴与x轴的交点为N，
由图可知：CD=2，
S_△BCD=

1

2

?CD?OB=

1

2

×2×2=2，
S_△pCD=

1

2

CD?PN=

1

2

CD?|P_y|=

1

2

×2×

1

4

=

1

4

，
∴S_{四边形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+

1

4

=

9

4

；

（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

1

3

．
即：S_△MCD=

1

3

S_{四边形PCBD}，

1

2

CD?|M_y|=

9

4

×

1

3

，
|M_y|=

3

4

，（6分）
又∵点M在抛物线上，
∴|

1

4

x²-

3

2

x+2|=

3

4

，
∴

1

4

x²-

3

2

x+2=±

3

4

，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程无实根．
当x₁=5时，y₁=

3

4

；当x₂=1时，y₂=

3

4

．
∴存在一点M（5，

3

4

），或（1，

3

4

）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

1

3

．