Question

难题 数列

已知数列{an}满足:a1=1,a(n+1)=an+(1/an).
(1)求证：14<a100<18
(2)求a100的整数部分[a100] .
速度，在线等 好的加分

Answer 1

（1）
∵a1=1,a(n+1)=an+(1/an).
所以{an}是个递增数列，且an≥1，则0<1/an ≤1 【仅当n=1时“=”成立】
a(n+1)=an+(1/an)两边平方，得：
a²(n+1)=a²n+2+ 1/a²n
分析：
① a²(n+1)=a²n+2+ 1/a²n >a²n+2
所以a²(n+1)-a²n>2
即：{a²n}可以看成等差数列，且公差d>2,首项为a²1=1
则：a²n>1+2(n-1)=2n-1
即：an>√(2n-1)
②因为当n>1时，0<1/an <1
所以 a²(n+1)=a²n+2+ 1/a²n <a²n+3
同理①求得：an<√(3n-2)

综上：√(2n-1)<an<√(3n-2)
所以：14<√(200-1)<a100<√(300-2)<18

即14<a100<18 证毕

第二题利用（1）的结果验证一下15,16,17就可以了O(∩_∩)O~

Answer 2

我在一本书上看过，忘了
好像是先证明一个不等式√(2n-1)＜an＜√( )(后面这个忘记了，记得好像有3n)