Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E。（Ⅰ）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S △BCE =S △ABC ，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S △BCE =2S △AOC ，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。

Answer 1

解：（Ⅰ）当 时，抛物线的解析式为 ， 即 ， ∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2， ∴抛物线的解析式为 （c>0）， ∴此时，抛物线与y轴的交点为 ，顶点为 ， ∵方程 的两个根为 ， ， ∴此时，抛物线与x轴的交点为 ， 如图，过点作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S △BCE =S △BCF ， ∵S △BCE = S △ABC ， ∴S △BCF =S △ABC ， ∴ ， 设对称轴x=1与x轴交于点D，则 ， 由EF∥CB，得 ， ∴Rt△EDF∽Rt△COB， 有 ， ∴ ， 结合题意，解得 ， ∴点 ， 设直线BC的解析式为 ，则 解得 ∴直线的解析式为 ；
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为 ， 则抛物线的解析式为 ， 此时，抛物线与y轴的交点为 ，与x轴的交点为 ， 过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF， 则S △BCE =S △BCF ， 由S △BCE =2S △AOC ， ∴S △BCF =2S △AOC ， 得 ， 设该抛物线的对称轴与x轴交于点D， 则 ， 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有 ， ∴ ， 即 ， 结合题意，解得 ，① ∵点 在直线 上，有 ，② ∴由①②，结合题意，解得 ， 有 ， ∴抛物线的解析式为 。