Question

已知函数f（x）= 3 sinωxcosωx-cos 2 ωx+ 1 2 （ω＞0，x∈R）的最小正周期

已知函数f（x）= 3 sinωxcosωx-cos 2 ωx+ 1 2 （ω＞0，x∈R）的最小正周期为 π 2 ．（1）求f（ 2π 3 ）的值，并写出函数f（x）的图象的对称中心的坐标；（2）当x∈[ π 3 ， π 2 ]时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

f（x）= 3 sinωxcosωx-cos 2 ωx+ 1 2 = 3 2 sin2ωx- 1 2  cos2ωx =sin（2ωx- π 6 ）， （1）∵函数的最小正周期为 π 2 ，ω＞0 ∴ω=2， 即f（x）=sin（4x- π 6 ）， ∴f（ 2π 3 ）=sin（ 8π 3 - π 6 ）=sin π 2 =1， 令4x- π 6 =kπ， 解得x= kπ 4 + π 24 ， 所以函数的对称中心坐标为（ kπ 4 + π 24 ，0）（k∈Z） （2）当x∈[ π 3 ， π 2 ]时，4x- π 6 ∈[ 7π 6 ， 11π 6 ] ∵当4x- π 6 ∈[ 7π 6 ， 3π 2 ]时，函数f（x）为减函数 ∴当x∈[ π 3 ， π 2 ]时，函数f（x）的单调递减区间为[ π 3 ， 5π 12 ]．