Question

如图，半径为 的⊙O内有两条互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。 （1）求证：PA·PB=PC·PD

如图，半径为 的⊙O内有两条互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。 （1）求证：PA·PB=PC·PD；（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB=8，CD=6，求OP的长。

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Answer 1

解：（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同， ∴∠A=∠C ∴Rt△APD∽Rt△CPB， ∴ ， ∴P·PB=PC·PD； （2）证明：∵F为BC中点，△BPC为Rt△， ∴FP=FC， ∴∠C=∠CPF， 又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF， ∴∠A=∠DPE， ∵∠A+∠D=90°， ∴∠DPE+∠D=90°， ∴EF⊥AD； （3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理： ∴OM 2 = -4 2 =4，ON 2 = -3 2 =11，又易证四边形MONP是矩形， ∴OP= 。