Question

已知等比数列{an}的公比q＞1，42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn=log2an

已知等比数列{an}的公比q＞1，42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn=log2an（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）因为4

2

是a₁和a₄的一个等比中项，
所以a1?a4＝(4

2

)2＝32．
由题意可得

a2?a3＝32 a2+a3＝12.

在为q＞1，所以a₃＞a₂．
解得

a2＝4 a3＝8

所以q＝

a3

a2

＝2．
故数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．

（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n?2ⁿ．S_n=1?2+2?2²+3?2³++（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ．①
2S_n=1?2²+2?2³++（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1?2+2²+2³++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n?2ⁿ⁺¹．