Question

在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都

在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤λan+1对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）变形得，S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴a_n+1=a_n+2，可知数列{a_n}是从第二项起的等差数列，
又a₂-a₁=2，所以a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1，即数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1；
（2）由（1）得，

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴Tn＝

1

2

[(

1

1

?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

7

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]＝

n

2n+1

，
又∵a_n+1=2n+1＞0，∴Tn≤λan+1?λ≥

Tn

an+1

恒成立?λ≥(

Tn

an+1

)max
又

Tn

an+1

＝

n

(2n+1)2

＝

n

4n2+4n+1

＝

1

4n+ 1 n +4

，
∵y＝4n+

1

n

+4在[1，+∞）上单调递增，
∴n=1时，ymin＝9，(

Tn

an+1

)max＝

1

9

所以λ≥

1

9

．