Question

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n≥2），a1=5，bn=an?12n（Ⅰ）证明：{bn}为等差数列； （Ⅱ）求数列{

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n≥2），a1=5，bn=an?12n（Ⅰ）证明：{bn}为等差数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：（I）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），∴an?1＝2(an?1?1)+2n，
∴

an?1

2n

＝

an?1?1

2n?1

+1．∴b_n=b_n-1+1．
∴{b_n}是首项为

a1?1

2

=

5?1

2

=2，公差为1的等差数列；
（II）解：由（I）可得b_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴

an?1

2n

＝n+1，∴an＝(n+1)?2n+1，
令cn＝(n+1)?2n，其前n项和为Tn，
则T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）?2ⁿ⁺¹=2+

2(2n?1)

2?1

-（n+1）?2ⁿ⁺¹=-n?2ⁿ⁺¹，
∴Tn＝n?2n+1．
∴S_n=T_n+n=n+n?2ⁿ⁺¹．