Question

这是高数定积分换原法的一个公式。去掉积分号后这两个式子相等吗？

Answer 1

去掉积分号后，两个被积函数是不相等的，因为这个换元是保证积分结果相等，而不是对被积函数的恒等变换。这点从积分上下限的不同可以看出来。举个例子

追问

嗯嗯那为什么这个式子对两边定积分相等？因为什么原因？注意是定积分不是不定积分。

追答

你上面那个式子不是"把积分号去掉“，那是个微分的式子。上面式子的成立需要物理意义的支持吧，要不然谁知道v，g，R这些变量的关系啊。

追问

嗯嗯。那为什么微分的式子可以用定积分来做？

追答

两个微分相等，那对等号两边的数学运算还是使等式成立的啊。取定积分也就是一种数学运算，酒像等式两边同时乘以或除以非零的数等，等式依然成立。不过，取定积分需要注意的是，积分上下限的确定。

追问

这个相等有具体的证明吗？

追答

换元法应该可以证明

追问

可不可以这么理解这个微分方程因为有了物理意义后所以v r之间存在函数关系所以这个微分方程与换原积分中的两个式子一样所以可以用定积分？

是不是微分方程分离变量后没有什么意义。只是为了方便利用定积分或不定积分来解？

追答

是的，1、物理意义确定了v r之间存在函数关系，2、分离变量是数学上的解题过程，原来建立的式子才有明确的物理意义。

追问

嗯嗯也就是说分离变量后也许根本就没有意义？

追答

不能完全说就没有意义，只能说可能意义不明确吧，因为分离变量毕竟还是恒等变换，原来的物理意义还是包含在其中，举个例子：