Question

设f（x）是分段函数={x^2,|x|<=1；1,1<|x|<=2 这种情况下怎么求f（x^2）以

设f（x）是分段函数={x^2,|x|<=1；1,1<|x|<=2
这种情况下怎么求f（x^2）以及f（x-1）的定义域？

Answer 1

要求f(x²), 则解不等式|x²|<=1, 及1<|x²|<=2
前者得|x|<=1, 后者得1<|x|< =√2
因此当|x|<=1时， f(x²)=x^4;
当1<|x|<=√2时， f(x²)=1

同样，要求f(x-1), 则解不等式|x-1|<=1, 及1<|x-1|<=2
前者得0=<x<=2, 后者得 2<x<=3 , 或-1=<x<0
因此当0=<x<=2时， f(x-1)=(x-1)²；
当2<x<=3或-1=<x<0时， f(x-1)=1.

追问

书上给的解析里写着：由f（x^2）知0<=x^2<=2,即-根2<=x<=根2，这是怎么回事？

追答

这是只求它的定义域。因为f(x)的定义域是|x|<=2
所以f(x²)的定义域为|x²|<=2, 也就是-√2=<x<=√2了

Answer 2

依题意得

求f（x^2）的定义域
∵f(x)的定义域是|x|<=2
∴f(x²)的定义域为|x²|<=2, 也就是-√2≤x<≤√2
求f（x^2）的解析式
解不等式|x²|≤1
得|x|≤1
解不等式1<|x²|≤2
得1<|x|≤√2

所以f（x^2）的解析式为

当|x|≤1时， f(x²)=x^4
当1<|x|≤√2时， f(x²)=1
对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。