Question

高一函数题

1.f(x^2+1)=x^4+x^2+1,求f(x)
2.f(x)=|x-1|+2|x+2|，求此函数单调区间。

Answer 1

一、令t=x^2+1,则x^2=t-1,
所以f(t)=(t-1)^2+t=t^2-t+1
即f(x)=x^2-x+1

二、当x<-2时，f(x)=1-x+2(-x-2)=-3x-3,所以f(x)在x<-2上单调递减；
当-2≤x≤1时，f(x)=1-x+2(x+2)=x+5,所以f(x)在-2≤x≤1上单调递增；
当x>1时,f(x)=x-1+2(x+2)=3x+3,所以f(x)在x>1上单调递增。
综上，f(x)的单调减区间为（负无穷，-2）
f(x)的单调增区间为[-2，正无穷）

Answer 2

f(x^2+1)=x^4+x^2+1=（x^2+1）^2-(x^2+1)+1
所以f(x)=x^2-x+1

写成分段函数
x＜-2时，f(x)=-3-3x,单调减
x＞-2时，f(x)的斜率都是大于0的，所以单调增

Answer 3

f(x)=x^2-x+2 把x^2+1=t 用t代替变量 把原函数化成(x^2+1)^2-(x^2+1)+2
第二个分区间 分成x>1时 f(x)=3x+3 在x>1时单调递增
-2<x<1时 f（x)=-(x-1)+2(x+2)=x+5单调增
x<-2时 f(x)=-(x-1)-2(x+2)=-3x-5单调减