Question

数列求和 1³+3³+5³+7³+...........（2n+1）³=？

Answer 1

本题需要用到这个公式1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
这个公式利用4次方公式：
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1即可证得。
1-(2n+2)所有数立方和1^3+2^3+……+(2n+2)^3=[(2n+2) (2n+3)/2]^2……①
1-(n+1)所有数立方和1^3+2^3+……+(n+1)^3=[(n+1)(n+2)/2]^2……②
②*8,得2^3+4^3+6^3+……+(2n+2)^3=2[(n+1)(n+2)]^2……③
①-③得：1³+3³+5³+7³+...........（2n+1）³=(n+1)²(2n+3) ²-2(n+1) ² (n+2) ².
即1³+3³+5³+7³+...........（2n+1）³=(n+1)²(2n²+4n+1).